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          設(shè)雙曲線的頂點是橢圓
          x2
          3
          +
          y2
          4
          =1          的焦點，該雙曲線又與直線
          		15
          x-3y+6=0          交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
          （1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
          （2）求|AB|的長度．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）橢圓
          x2
          3
          +
          y2
          4
          =1          的焦點為（0，±1），依題意設(shè)雙曲線的方程為y2-
          x2
          b2
          =1          ，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則
          		15
          x1=3y1-6          ，
          		15
          x2=3y2-6          ，∴15x1x2=9y1y2-18（y1+y2）+36，
          ∴x1x2=
          3y1y2-6(y1+y2)+12
          5

          由 OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴4y1y2-3（y1+y2）+6=0…①
          由
          y2-
          x2
          b2
          =1
          		15
          x-3y+6=0
          ，∴（15b2-9）y2+36y-（15b2+36）=0…②
          ∴y1+y2=
          36
          9-15b2
          ，y1y2=
          15b2+36
          9-15b2
          ，代入①中得b2=3∴雙曲線的方程為y2-
          x2
          3
          =1
          （2）將b2=3代入②式中，得4y2+4y-9=0，y1+y2=-1，y1y2=-
          9
          4

          ∴|AB|=
          		1+
          1
          k2
          |y2-y1|          =
          		1+
          3
          5
          •
          		1-4×(-
          9
          4
          )=4
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的離心率為
          		2
          2
          ，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的周長為4（
          		2
          +1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
          （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
          （Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          設(shè)雙曲線的頂點是橢圓
          x2
          3
          +
          y2
          4
          =1          的焦點，該雙曲線又與直線
          		15
          x-3y+6=0          交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
          （1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
          （2）求|AB|的長度．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•天津模擬）如圖，橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）與一等軸雙曲線相交，M是其中一個交點，并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點F1，F(xiàn)2，雙曲線的焦點是橢圓的頂點A1，A2，△MF1F2的周長為4（
          		2
          +1）．設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
          （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （Ⅱ）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明k1•k2=1；
          （Ⅲ）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2007-2008學(xué)年四川省成都十八中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          設(shè)雙曲線的頂點是橢圓的焦點，該雙曲線又與直線交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
          （1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
          （2）求|AB|的長度．
          

			
          

			
          
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