Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁，F(xiàn)₂為頂點的三角形的周長為4（

2

+1），一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為

c

a

=

2

2

，及橢圓的定義得到又2a+2c=4(

2

+1)，解方程組即可求得橢圓的方程，等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀），根據(jù)斜率公式求得k₁、k₂，把點P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可證明結(jié)果；
（Ⅲ）設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則可求出直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為

c

a

=

2

2

，
得a=

2

c，又2a+2c=4(

2

+1)，
所以可解得a=2

2

，c=2，所以b²=a²-c²=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
所以橢圓的焦點坐標(biāo)為（±2，0），
因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

-

y2

4

=1．
（Ⅱ）設(shè)點P（x₀，y₀），
則k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁•k₂=

y0

x0+2

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又點P（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴

x02

4

-

y02

4

=1，即y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（Ⅲ）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，
則由（II）知k₁•k₂=1，
∴設(shè)直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=

1

k

（x-2），
由方程組

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由韋達(dá)定理得，x1+x2=

-8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-8

2k2+1

，
∴AB=

1+k2

(x1+x2)2-4x1 x2

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得CD=

1+( 1 k )2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+ 1 k2 )

2 1 k2 +1

=

4 2 (1+k2)

k2+2

，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

4 2 (1+k2)

2k2+1

-

4 2 (1+k2)

k2+2

=

3+3k2

4 2 (k2+1)

=

3 2

8

，
∴存在常數(shù)λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

點評：本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（III）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．