Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點(diǎn)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），A（c，0）三點(diǎn)，其中c＞0．
（1）求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓（其中a²-b²=c²）的左、右頂點(diǎn)分別為D、B，⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C，且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由題設(shè)，得，由此能求出⊙M的方程．
（2）⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，又B（b，0），D（-b，0），由題設(shè)，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）由，得．所以直線MF₁的方程為，由此能夠?qū)С鲋本�MF₁與直線DF₂的交點(diǎn)Q在定直線上．
解答：解：（1）設(shè)⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設(shè)，得
解得
⊙M的方程為，
⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（5分）
（2）⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，，
又B（b，0），D（-b，0），
由題設(shè)即
所以解得，
即．所以橢圓離心率的取值范圍為；（10分）
（3）由（1），得．
由題設(shè)，得．
∴，．
∴直線MF₁的方程為，
①直線DF₂的方程為．
②由①②，得直線MF₁與直線DF₂的交點(diǎn)，
易知為定值，
∴直線MF₁與直線DF₂的交點(diǎn)Q在定直線上．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意圓曲線的性質(zhì)和公式的合理運(yùn)用．