Question

已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(4+2

3

，2)，B(4，4)，圓C是△OAB的外接圓．
（1）求圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)（2，6）的直線l被圓C所截得的弦長為4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出圓的一般式方程，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入列方程組，求出系數(shù)；
（2）分兩種情況求解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，只需要驗(yàn)證即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，根據(jù)弦的一半、半徑和弦心距構(gòu)成直角三角形來求直線的斜率．

解答：解：（1）設(shè)圓C方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由題意列方程組，

F=0 4D+4E+F+32=0 (4+2 3 )D+2E+F+32+16 3 =0

解得D=-8，E=F=0．
∴圓C：（x-4）²+y²=16．
（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，l：x=2被圓截得弦長為4

3

，符合題意；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y-6=k（x-2），
即kx-y+6-2k=0，
∵被圓截得弦長為4

3

，
∴圓心到直線距離為2，
∴

|4k+6-2k|

1+k2

=2，解得k=-

4

3

，
∴直線l：y-6=-

4

3

(x-2)，即4x+3y-26=0.
故所求直線l為x=2，或4x+3y-26=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求圓的方程，通常用一般式計(jì)算要簡單；另外圓與直線相交時(shí)，半徑、弦長的一半和弦心距的關(guān)系，注意用到斜率考慮是否存在問題，這是易錯(cuò)出．