Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：

x=-2+ 3 5 t y=2+ 4 5 t

（t為參數(shù)），它與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A，B兩點．
（1）求|AB|的長；
（2）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點P的極坐標(biāo)為(2

2

，

3π

4

)，求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡得7t²+60t-125=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式|AB|=|t₁-t₂|即可得出；
（2）點P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（-2，2），根據(jù)中點坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點M對應(yīng)的參數(shù)為

t1+t2

2

．根據(jù)t的幾何意義可得點P到M的距離為|PM|=|

t1+t2

2

|即可．

解答：解：（1）把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡得7t²+60t-125=0
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則 t1+t2=-

60

7

，t1t2=-

125

7

．
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

10 71

7

．
（2）由P的極坐標(biāo)為(2

2

，

3π

4

)，可得x_p=2

2

cos

3π

4

=-2，yp=2

2

sin

3π

4

=2．
∴點P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為（-2，2），
根據(jù)中點坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點M對應(yīng)的參數(shù)為

t1+t2

2

=-

30

7

．
∴由t的幾何意義可得點P到M的距離為|PM|=|

t1+t2

2

|=

30

7

．

點評：本題考查了直線與雙曲線的相交問題、直線的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、中點坐標(biāo)公式、兩點之間的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．