【題目】在數(shù)列
，
中，已知
，
，且
，
，
成等差數(shù)列，
，
，
也成等差數(shù)列．
求證：
是等比數(shù)列；
設(shè)m是不超過100的正整數(shù)，求使
成立的所有數(shù)對
．
【答案】（1）詳見解析；（2）
，
；
【解析】
試題（1）由已知條件構(gòu)造數(shù)列
的遞推關(guān)系，從而根據(jù)定義證得等比數(shù)列；（2）由已知構(gòu)造數(shù)列
的遞推關(guān)系，從而求得通項公式，結(jié)合數(shù)列的通項公式求得數(shù)列
的通項公式，代入已知關(guān)系式化簡為形如
的不定方程，由
的范圍得
的范圍，從而得到
可能的取值；
試題解析：（1）由
，
，
成等差數(shù)列可得，
，①
由
，
，
成等差數(shù)列可得，
， ②
①+②得，
，
所以是以6為首項、
為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，
，③ ①-②得，
，④
③
④得，
，
代入
，得
，
所以
，
整理得，
，所以，
由
是不超過100的正整數(shù)，可得
，所以
或
，
當(dāng)時，
，此時
，則
，符合題意；
當(dāng)
時，
，此時
，則
，符合題意．
故使成立的所有數(shù)對
為，．
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為落實國家“精準(zhǔn)扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2018年在其扶貧基地投入
萬元研發(fā)資金，用于蔬菜的種植及開發(fā)，并計劃今后十年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長10%.
（1）寫出第
年(2019年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)
(萬元)與的函數(shù)關(guān)系式，并指出函數(shù)的定義域；
（2）該企業(yè)從第幾年開始(2019年為第一年)，每年投入的資金數(shù)將超過
萬元?
（參考數(shù)據(jù)
）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】折紙是一項藝術(shù)，可以折出很多數(shù)學(xué)圖形．將一張圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，圓心B（－1，0），半徑為4，圓內(nèi)一點A為拋物線
的焦點．若每次將紙片折起一角，使折起部分的圓弧的一點
始終與點A重合，將紙展平，得到一條折痕，設(shè)折痕與線段B的交點為P．
（Ⅰ）將紙片展平后，求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知過點A的直線l與軌跡C交于R，S兩點，當(dāng)l無論如何變動，在AB所在直線上存在一點T，使得
所在直線一定經(jīng)過原點，求點T的坐標(biāo)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某港口有一個泊位，現(xiàn)統(tǒng)計了某100艘輪船在該泊位�？康臅r間（單位：小時），如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統(tǒng)計結(jié)果如下表：
（1）設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均�？繒r間為
小時，求的值；
（2）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位�？�小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船至少有一艘在�？吭摬次粫r必須等待的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在海岸線l一側(cè)P處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便登島游客，在l上設(shè)立了M，N兩個報名接待點，P，M，N三點滿足任意兩點間的距離為
公司擬按以下思路運作：先將M，N兩處游客分別乘車集中到MN之間的中轉(zhuǎn)點Q處
點Q異于M，N兩點
，然后乘同一艘游輪由Q處前往P島
據(jù)統(tǒng)計，每批游客報名接待點M處需發(fā)車2輛，N處需發(fā)車4輛，每輛汽車的運費為20元
，游輪的運費為120元
設(shè)
，每批游客從各自報名點到P島所需的運輸總成本為T元．
寫出T關(guān)于
的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；
問：中轉(zhuǎn)點Q距離M處多遠時，T最小？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
且
）.
(1)判斷函數(shù)
在
上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)
時，若不等式
對于
恒成立，求
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱柱
中，
平面
，
，
．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求異面直線
與
所成角的大小；
（Ⅲ）點
在線段上，且
，點
在線段上，若
平面
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
.
(1)求函數(shù)
的定義域；
(2)求證：為偶函數(shù)；
(3)指出方程
的實數(shù)根個數(shù)，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠生產(chǎn)
，
，
三種紀(jì)念品，每種紀(jì)念品均有普通型和精品型兩種，某一天產(chǎn)量如下表（單位：個）：
普通型 | 精品型 | |
紀(jì)念品 | 800 | 200 |
紀(jì)念品 |
| 150 |
紀(jì)念品 | 500 | 350 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的紀(jì)念品中抽取100個，其中有種紀(jì)念品40個.
（1）若再用分層抽樣的方法在所有種紀(jì)念品中抽取一個容量為13的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2個紀(jì)念品，求至少有1個精品型紀(jì)念品的概率（用最簡分?jǐn)?shù)表示）；
（2）從種精品型紀(jì)念品中抽取6個，其某種指標(biāo)的數(shù)據(jù)分別如下：4，7，
，
，8，5.把這6個數(shù)據(jù)看作一個總體，其均值為7、方差為6，求
的值.
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