Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)解；

（Ⅱ）設(shè)，其中.若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（1）設(shè)，，求出，判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，，利用零點(diǎn)存在性定理即可證出.

（2）設(shè)，，求出，由（1）不妨的零點(diǎn)為，從而可判斷在區(qū)間上單調(diào)情況，進(jìn)而可得出函數(shù)的最小值為，由，得，代入可得，由即可求解.

（Ⅰ）設(shè)，.

，當(dāng)時(shí)，，

因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

且，.

所以在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，

方程在區(qū)間上只有一個(gè)解.

（Ⅱ）設(shè)，，定義域?yàn)?/span>，

，

令，則，

由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且只有一個(gè)零點(diǎn)，

不妨設(shè)的零點(diǎn)為，則，

所以，與在區(qū)間上的情況如下：

	-	0	+

所以，函數(shù)的最小值為，，

由，得，所以.

依題意，即，解得.所以，的取值范圍為.