Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)
（1）求k的值；
（2）設(shè)g（x）=log4（a2x﹣ a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函數(shù)

∴f（﹣x）=log4（4﹣x+1）﹣kx）=log4（ ）﹣kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立

∴﹣（k+1）=k，則k=

（2）解：g（x）=log4（a2x﹣ a），

函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即

方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解

由已知得log4（4x+1） x=log4（a2x﹣ a），

∴l(xiāng)og4（ ）=log4（a2x﹣ a），

方程等價(jià)于 ，

設(shè)2x=t，t＞0，則（a﹣1）t2﹣ ﹣1=0有一解

若a﹣1＞0，設(shè)h（t）=（a﹣1）t2﹣ ﹣1，

∵h(yuǎn)（0）=﹣1＜0，∴恰好有一正解

∴a＞1滿足題意

若a﹣1=0，即a=1時(shí)，h（t）=﹣ ﹣1，由h（t）=0，得t=﹣ ＜0，不滿足題意

若a﹣1＜0，即a＜1時(shí)，由 ，得a=﹣3或a= ，

當(dāng)a=﹣3時(shí)，t= 滿足題意

當(dāng)a= 時(shí)，t=﹣2（舍去）

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a＞1或a=﹣3}

【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程關(guān)系即可求k的值；（2）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即可得到結(jié)論．