Question

若實(shí)數(shù)x，y滿足方程組

(x-1)2011+(x-1)2009+2010x=4020 (y-1)2011+(y-1)2009+2010y=0

，則x+y=

2

．

Answer 1

分析：由條件令t=x-1，s=y-1可得t²⁰¹¹+t²⁰⁰⁹+2010t=2010，s²⁰¹¹+s²⁰⁰⁹+2010s=-2010．由函數(shù)f（x）=x²⁰¹¹+x²⁰⁰⁹+2010x 單調(diào)遞增且是奇函數(shù)，可得t，s都是唯一的，t=-s，由此求得x+y的值．

解答：解：把 （x-1）²⁰¹¹+（x-1）²⁰⁰⁹+2010x=4020 兩邊同時(shí)減去2010可得
（x-1）²⁰¹¹+（x-1）²⁰⁰⁹+2010（x-1）=2010，
令t=x-1，可得t²⁰¹¹+t²⁰⁰⁹+2010t=2010．
把 （y-1）²⁰¹¹+（y-1）²⁰⁰⁹+2010y=0兩邊同時(shí)減去2010可得
（y-1）²⁰¹¹+（y-1）²⁰⁰⁹+2010（y-1）=-2010
設(shè)s=y-1，有 s²⁰¹¹+s²⁰⁰⁹+2010s=-2010．
由于函數(shù)f（x）=x²⁰¹¹+x²⁰⁰⁹+2010x 單調(diào)遞增，
所以  f（x）=c 只有一個(gè)根（ c 是任意實(shí)數(shù)），所以t，s都是唯一的
由f（x） 是奇函數(shù)，即f（-x）=-f（x），可得 t=-s，
即  x-1=-（y-1），∴x+y=2．
故答案為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題．構(gòu)造出統(tǒng)一的形式來是解題的關(guān)鍵