Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，點E是PD上的點，且（0＜λ≤1）．
（Ⅰ） 求證：PB⊥AC；
（Ⅱ） 求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）當λ=1時，求二面角E-AC-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意由于PA⊥平面ABCD．利用線面垂直的定義可以得到PA⊥AC，又由于AC⊥AB，利用線面垂直的判定定理可以得到AC⊥平面PAB，進而利用線面垂直的定義即可得證；
（II）由題意連接BD交AC于O，連接OE，因為PB∥平面ACE，利用線面平行的性質定理可以得到PB∥OE，在由于O為BD的中點，所以可得E為PD的中點，進而求得λ=1；
（III）由題意取AD的中點F，連接EF，利用中位線性質可以得到EF∥PA，又由于PA⊥平面ABCD，利用兩平行線一個與平面垂直則另一條也與該平面垂直可得到EF⊥平面ABCD．連接OF，則OF∥AB，利用三垂線定理即可得到∠EOF就是二面角E-AC-D的平面角，然后計算出即可．
解答：解：（Ⅰ）證明：由于PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC∵AC⊥AB，∴AC⊥平面PAB，∴PB⊥AC，
（Ⅱ）連接BD交AC于O，連接OE，∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE∴PB∥OE，
又∵O為BD的中點∴E為PD的中點，
故λ=1．
（Ⅲ）取AD的中點F，連接EF，則EF∥PA，∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．連接OF，則OF∥AB∵BA⊥AC，
∴OF⊥AC，連接OE，則OE⊥AC，∴∠EOF就是二面角E-AC-D的平面角，
又∵，∴EF=OF，且EF⊥OF∴∠EOF=45°．
∴二面角E-AC-B大小為135°．
點評：此題考查了線面垂直的性質定理還考查了線面垂直的判定定理，及線面平行的性質定理與利用三垂線定理求解二面角的平面角及二面角的大�。�