Question

如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知三點(diǎn)E（0，3），F(xiàn)（0，1），G（0，-1），直線(xiàn)L：y=-1，M是直線(xiàn)L上的動(dòng)點(diǎn)，H．P是坐標(biāo)平面上的動(dòng)點(diǎn)，且

FH

=

HM

，

PM

=λ

EG

，

PH

•

FM

=0．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)m與點(diǎn)P的軌跡交于相異兩點(diǎn)A．B，設(shè)向量

FA

與

FB

夾角為θ，且

3π

4

≤θ＜π，求直線(xiàn)m斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)且

FH

=

HM

，

PM

=λ

EG

，

PH

•

FM

=0，點(diǎn)P在直線(xiàn)x=a上，由拋物線(xiàn)定義，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，求出動(dòng)點(diǎn)P 軌跡方程；（Ⅱ）直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，聯(lián)立方程，利用偉大定理，尋找向量

FA

與

FB

夾角為θ的余弦值，求出直線(xiàn)m斜率的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），M（a，0），∵

PM

=λ

EG

，
∴PM∥y軸，
∴點(diǎn)P在直線(xiàn)x=a上．
又|

FH|

= |

HM

|，

PH

•

FM

 =0，
∴PH⊥FM，點(diǎn)P在線(xiàn)段FM的垂直平分線(xiàn)上，由拋物線(xiàn)定義，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)y=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∴動(dòng)點(diǎn)P 軌跡方程是x²=4y；
（2） 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程：y=kx+3，把它代入x²=4y，得
x²-4kx-12=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12，
y₁+y₂

X12+X22

4

(X1+X2) 2-2X1X2

4

=4k²-6，y₁y₂

(X1X2) 2

16

=9．
設(shè)AB在x軸的射影是A₁B₁，

FA

•

FB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
|

FA

|•|

FB

|=|FA₁|•|FB₁|=（y₁+1）•（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1，
∴cosθ=

FA • FB

| FA || FB |

=

1-k2

1+k2

≤cos

3π

4

≤-

2

2

，解得|k|≥1+

2

∴k∈（-∞，-1-

2

]∪[1+

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：考查平面向量與解析幾何的結(jié)合，體現(xiàn)了向量的工具性，考查了拋物線(xiàn)的定義和直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，在求解過(guò)程中，韋達(dá)定理的應(yīng)用體現(xiàn)了方程的思想，和整體代換的思想方法，屬中檔題．