Question

【題目】已知橢圓C的方程為 ，點(diǎn)A、B分別為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AF1為半徑作圓A；以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線 被圓A和圓B截得的弦長(zhǎng)之比為 ；

（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)P點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長(zhǎng)之比為 ；若存在，請(qǐng)求出所有的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得直線l的傾斜角為150°，

則點(diǎn)A到直線l的距離 ，

故直線l被圓A截得的弦長(zhǎng)為 ，

直線l被圓B截得的弦長(zhǎng)為 ，

據(jù)題意有： ，即

化簡(jiǎn)得：16e2﹣32e+7=0，

解得： 或 ，又橢圓的離心率e∈（0，1）；

故橢圓C的離心率為 ．

（2）解：假設(shè)存在，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），過(guò)P點(diǎn)的直線為L(zhǎng)；

當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，直線L不能被兩圓同時(shí)所截；

故可設(shè)直線L的方程為y﹣n=k（x﹣m），

則點(diǎn)A（﹣7，0）到直線L的距離 ，

由（1）有 ，得 = ，

故直線L被圓A截得的弦長(zhǎng)為 ，

則點(diǎn)B（7，0）到直線L的距離 ，rB=7，

故直線L被圓B截得的弦長(zhǎng)為 ，

據(jù)題意有： ，即有16（rA2﹣D12）=9（rB2﹣D22），整理得4D1=3D2，

即 = ，

關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解，

故有： ，

故所求點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，0）或（﹣49，0）．

【解析】（1）根據(jù)直線l的斜率可知直線l的傾斜角，進(jìn)而可求得點(diǎn)A到直線l的距離，進(jìn)而表示出直線l被圓A截得的弦長(zhǎng)和被圓B截得的弦長(zhǎng)，利用弦長(zhǎng)之比為 ，求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而求得e．（2）假設(shè)存在，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），過(guò)P點(diǎn)的直線為L(zhǎng)，當(dāng)直線L的斜率不存在時(shí)，直線L不能被兩圓同時(shí)所截，故可知直線L的斜率一定存在，進(jìn)而可設(shè)直線方程，求得點(diǎn)A（﹣7，0）到直線L的距離，根據(jù)（1）的離心率求得圓A的半徑，同樣可求得圓B的半徑，則可求得直線L被兩圓截得的弦長(zhǎng)，根據(jù)他們的比為 建立等式，整理成關(guān)于k的一元二次方程，方程有無(wú)窮多解，進(jìn)而求得m和n，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．