Question

【題目】已知函數(shù)= ， .

（1）若函數(shù)在處取得極值，求的值，并判斷在處取得極大值還是極小值.

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由得到，并通過求導(dǎo)判斷得到處取得極小值；（2）在上恒成立，令，通過分類討論，得到時(shí)， ，所以。

試題解析：

（1）的定義域是，=，由得.

當(dāng)時(shí)，=，=

恒成立， 令=，=恒成立

在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，在處取得極小值.

（2）由得在上恒成立

即在上恒成立.

解法一（將絕對(duì)值看成一個(gè)函數(shù)的整體進(jìn)行研究）：

令，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，所以的值域?yàn)椋?/span>，因?yàn)?/span>，所以的值域?yàn)?/span>；所以不成立.

②當(dāng)時(shí)，易知恒成立.，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，依題意，，所以.

綜上：

解法二（求命題的否定所對(duì)應(yīng)的集合，再求該集合的補(bǔ)集）：

命題“對(duì)都成立”的否定是“在上有解”

在上有解在上有解

在上有解

令，.

，所以在上單調(diào)遞增，又，所以無最小值.所以；

令，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以,所以.

因?yàn)?/span>在上有解時(shí)，；

所以對(duì)都成立時(shí)，.