Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

b2

=1（b∈N^*） 的兩個焦點為F₁、F₂，P是雙曲線上的一點，且滿足|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|²，|PF₂|＜4，
（I）求b的值；
（II）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F與該雙曲線的右頂點重合，斜率為1的直線經(jīng)過點F與該拋物線交于A、B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析：（I）利用雙曲線的方程得到a，利用雙曲線的定義得到，||PF₁|-|PF₂||=4，將它與已知等式聯(lián)立得到關(guān)于|PF₂|的方程
由于|PF₂|＜4，所以該方程在（0，4）上有解，得到c的范圍從而得到b的范圍，據(jù)b是自然數(shù)，求出b的值．
（II）求出拋物線方程與直線方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，解方程組，求出交點坐標，利用兩點距離公式求出弦長|AB|．

解答：解（I）根據(jù)題意a²=4，即a=2，
又，a²+b²=c²，||PF₁|-|PF₂||=2a=4，
又|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²，|PF₂|＜4，得
|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在區(qū)間（0，4）上有解，即4c²=|PF₂|²+4|PF₂|有解
又|PF₂|＜4，故|PF₂|²+4|PF₂|＜32
所以c²＜8
因此b²＜4，又b∈N^*，
所以b=1
（II）雙曲線方程為

x2

4

-y2=1，
右頂點坐標為（2，0），即F（2，0）
所以拋物線方程為y²=8x （1）
直線方程為y=x-2 （2）
由（1）（2）兩式聯(lián)立

y2=8x y=x-2

，
解得

x1=6+4 2 y1=4+4 2

和

x2=6-4 2 y2=4-4 2

所以弦長|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=16=16

點評：求圓錐曲線的方程，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般設(shè)出直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理，找突破口．注意設(shè)直線方程時，一定要討論直線的斜率是否存在．