Question

已知雙曲線

x2

4

-

y2

a

=1的實(shí)軸為A₁A₂，虛軸為B₁B₂，將坐標(biāo)系的右半平面沿y軸折起，使雙曲線的右焦點(diǎn)F₂折至點(diǎn)F，若點(diǎn)F在平面A₁B₁B₂內(nèi)的射影恰好是該雙曲線的左頂點(diǎn)A₁，且直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角的正切值為

5

5

，則a=

1

．

Answer 1

分析：由題意可得直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角為∠FB₁A₁，可得

5

5

=

FA1

A1B1

=

FA1

4+a

，求得 FA₁ 的值，
直角三角形FA₁O 中，由勾股定理可得 FO²=A₁O²+FA₁²，由此求出a 的值．

解答：解：如圖所示：由題意可得 實(shí)軸A₁A₂ =4，B₁B₂，=2

a

，F(xiàn)A₁⊥面A₁B₁B₂，
直線B₁F與平面A₁B₁B₂所成角為∠FB₁A₁．
∴

5

5

=

FA1

A1B1

=

FA1

4+a

，∴FA₁=

5

5

4+a

．
又FO=c=

4+a

，A₁O=2．直角三角形FA₁O 中，由勾股定理可得 FO²=A₁O²+FA₁²，
即4+a=4+

4+a

5

，解得 a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)，直線和平面所成的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于
中檔題．