Question

【題目】有人玩擲均勻硬幣走跳棋的游戲，棋盤(pán)上標(biāo)有第0站（出發(fā)地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子開(kāi)始在出發(fā)地，棋手每擲一次硬幣，這枚棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正向，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（失敗收容地）或跳到第100站（勝利大本營(yíng)），該游戲結(jié)束. 設(shè)棋子跳到第站的概率為.

（1）求，，；

（2）寫(xiě)出與、的遞推關(guān)系）；

（3）求玩該游戲獲勝的概率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）結(jié)合題設(shè)條件能夠求出，，；

（2）依題意，棋子跳到第站有兩種可能：第一種，棋子先到站，又?jǐn)S出反面，其概率為；第二種，棋子先到站，又?jǐn)S出正面，其概率為，由此能夠得到與的遞推關(guān)系；

（3）由，知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列求和公式得到結(jié)果.

（1）依題意得，，

（2）依題意知，棋子跳到第站有兩種情況：

第一種，棋子先到站，又?jǐn)S出反面，其概率為；

第二種，棋子先到站，又?jǐn)S出正面，其概率為.

∴

（3）由（2）知，，且

∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

又 ∴或

∴玩該游戲獲勝的概率為.