Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）若存在極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

【解析】

（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過分類討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)情況，得出極值情況，從而可求；

（2）先把目標(biāo)不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判定單調(diào)性，得到最值，然后可證.

解：（1）由題意得，令，

則．

∴當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)單調(diào)遞減，且，，

當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)單調(diào)遞增，且，，

∴．

①當(dāng)，即時(shí)，，于是在上是增函數(shù)，

從而在上無極值．

②當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，

且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

故是在上的極小值點(diǎn)．

綜上，．

（2）要證）即等價(jià)于證明．

①當(dāng)時(shí)，得，，

顯然成立；

②當(dāng)時(shí)，則，

結(jié)合已知，可得．

于是問題轉(zhuǎn)化為證明，

即證明．

令，，

則，

令，

則，

易得在上單調(diào)遞增．

∵，，

∴存在使得，即．

∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

∴，

故，問題得證．