Question

設(shè)

a

=( a1 ， a2)，

b

=( b1 ， b2)，定義一種向量運(yùn)算：

a

?

b

=( a1b1 ， a2b2)，已知

m

=(

1

2

 ， 2a)，

n

=(

π

4

 ， 0)，點(diǎn)P（x，y）在函數(shù)g（x）=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b，且h（x）的定義域?yàn)?span mathtag="math" >[

π

2

 ， π]，值域?yàn)閇2，5]，求a，b的值．

Answer 1

（1）P（x，y）在函數(shù)g（x）=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)可得，y=sinx，設(shè)Q（x₁，y₁），
∵Q滿足

OQ

=

m

?

OP

+

n

=(

1

2

x，2ay)+(

π

4

，0)=(

2x+π

4

，2ay)
∴

x1= 2x+π 4 y1=2ay

?

x= 2x1- π 2 y=sinx= y1 2a

又因?yàn)閥=sinx
代入可得y1=2asin(2x1-

π

2

)=-2acos2x1
即f（x）=-2acos2x
（2）h(x)=2asin2x+

3

2

f(x-

π

4

)+b
=2asin²x-

3

asin2x+b
=a+b-2asin(2x+

π

6

)
∵x∈[

π

2

 ， π]，2x+

π

6

∈[

7

6

π，

13

6

π]
當(dāng)a＞0時(shí)，

a+b+2a=5 a+b-a=2

∴a=1，b=2
當(dāng)a＜0時(shí)，

a+b+2a=2 a+b-a=5

∴a=-1，b=5