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        1. (2010•江西模擬)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,an<an+1且前6項(xiàng)的平方和為70,立方和為0.
          (1)求{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線ln的斜率為an,且與曲線y=x2相切,與y軸交于Bn,記bn=|Bn+1Bn|,求bn
          (3)對于(2)問中數(shù)列{bn}求證:|sinb1+sinb2+…+sinbn|<
          3
          2
          分析:(1)依題意有
          a12+a22+a32+a42+a52+a62=70
          a13+a23+a33+a43+a53+a63=0
          ,由于{an}為等差數(shù)列,得到:a1+a6=a2+a5=a3+a4化簡得到:
          a1+a6=2a1+5d=0
          a12+a22+a32=3a12+6a1d2=35

          解得首項(xiàng)和公差,從而得出{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)ln的方程為y=anx+m,將直線的方程代入圓的方程,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合直線與曲線相切即可求得m=
          an2
          4
          ,從而求得求bn解決問題.
          (3)先利用|sinb1+sinb2+…+sinbn|=|
          n
          k=1
          sinbnsin1|•
          1
          sin1
          =
          |-
          1
          2
          n
          k=1
          [cos(bk+1)-cos(bk-1)]|
          2sin1
          =
          |cos(2n-5)-cos5|
          2sin1
          ,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論.
          解答:解:(1)依題意有
          a12+a22+a32+a42+a52+a62=70
          a13+a23+a33+a43+a53+a63=0

          ∵{an}為等差數(shù)列,∴a1+a6=a2+a5=a3+a4
          若a1+a6>0,則a13+a63=(a1+a6)(a12+a1a6+a62)>0
          ∴a13+a23+…+a63>0同理,若a1+a6<0,則a13+a23+…+a63<0
          ∴a1+a6=a2+a5=a3+a4=0⇒a12+a22+…+a62=2(a12+a22+a32)=70
          設(shè){an}的公差為d,an<an+1
          ∴d>0
          a1+a6=2a1+5d=0
          a12+a22+a32=3a12+6a1d2=35

          a1=-5
          d=2
          ∴an=2n-7
          (2)設(shè)ln的方程為y=anx+m由
          y=x2
          y=anx+m
          得x2-anx-m=0
          ∵直線與曲線相切∴△=0⇒m=
          an2
          4

          Bn(0,-
          an2
          4
          )
          ;bn=|Bn+1Bn|=-
          an2
          4
          -(-
          an+12
          4
          )=
          (2n-5)2-(2n-7)2
          4
          =2n-6

          (3)|sinb1+sinb2+…+sinbn|=|
          n
          k=1
          sinbnsin1|•
          1
          sin1

          =
          |-
          1
          2
          n
          k=1
          [cos(bk+1)-cos(bk-1)]|
          2sin1

          =
          |cos(2n-5)-cos5|
          2sin1

          ∵cos5>0,
          bn
          1+cos5
          2sin1
          =
          sin2(
          π-5
          2
          )
          sin1
          <sin1<
          3
          2

          |sinb1+sinb2+…+sinbn|<
          3
          2
          點(diǎn)評:本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列與不等式的綜合、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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          1≤x≤5
          ,則
          y
          x
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          6

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