Question

已知函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值是f（a）．
（1）求f（a）的解析式；
（2）討論函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在 a∈[-2，2]時的單調性（不需證明）．

Answer 1

分析：（1）分

a

2

＜-1、-1≤

a

2

≤-1、

a

2

≥1三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質求出函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上的最小值．
（2）當-2≤a≤0時，f（a）=3-

a2

2

是增函數(shù)，利用復合函數(shù)的單調性可得函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是減函數(shù)，同理可得，數(shù)φ（a）在[0，2]上的單調性．

解答：解：（1）當

a

2

＜-1時，函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，故當x=-1時，函數(shù)取得最小值是  f（-1）=2a+5．
當-1≤

a

2

≤-1時，由于函數(shù)y=2x²-2ax+3對稱軸是x=

a

2

，故當x=

a

2

時，函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上取得最小值是 f（

a

2

）=3-

a2

2

．
當

a

2

≥1時，函數(shù)y=2x²-2ax+3在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，故當x=1時，函數(shù)取得最小值是 f（1）=5-2a．
綜上可得 f（a）=

2a+5 ，  a＜-2 3- a2 2  ，   -2≤a≤2 5-2a ，  a≥2

．
（2）當-2≤a≤0時，f（a）=3-

a2

2

在[-2，0]上是增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性可得函數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[-2，0]上是減函數(shù)．
同理可得，數(shù)φ（a）=log_0.5f（a）在[0，2]上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質應用，復合函數(shù)的單調性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．