Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足a₁=3，a₂=6，{b_n}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，

an

，bn+1成等比數(shù)列．
（ I）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Sn=

1

a1

+

1

a2

+…

1

an

，試比較2S_n與2-

b 2 n+1

an+1

的大�。�

Answer 1

分析：（I）利用正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，

an

，bn+1成等比數(shù)列，可得a_n=b_nb_n+1，結(jié)合{b_n}是等差數(shù)列，可求數(shù)列的公差，從而可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和，再作出比較，可得結(jié)論．

解答：解：（I）∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足對(duì)任意正整數(shù)n，都有bn，

an

，bn+1成等比數(shù)列，
∴a_n=b_nb_n+1，
∵a₁=3，a₂=6，∴b₁b₂=3，b₂b₃=6
∵{b_n}是等差數(shù)列，∴b₁+b₃=2b₂，∴b₁=

2

，b₂=

3 2

2

∴b_n=

2

2

(n+1)；
（Ⅱ）a_n=b_nb_n+1=

(n+1)(n+2)

2

，則

1

an

=2（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴S_n=2[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）]=1-

2

n+2

∴2S_n=2-

4

n+2

∵2-

b 2 n+1

an+1

=2-

n+2

n+3

∴2S_n-（2-

b 2 n+1

an+1

）=

n2-8

(n+2)(n+3)

∴當(dāng)n=1，2時(shí)，2S_n＜2-

b 2 n+1

an+1

；當(dāng)n≥3時(shí)，2S_n＞2-

b 2 n+1

an+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查大小比較，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．