Question

設(shè)函數(shù)（其中），，已知它們在處有相同的切線.
（1）求函數(shù)，的解析式；
（2）求函數(shù)在上的最小值；
（3）判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

（1）.
（2）；
（3）函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).

試題分析：(1) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，得切線斜率，建立的方程組.
(2) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，基本步驟明確，本題中由于中的不確定性，應(yīng)該對其取值的不同情況加以討論.
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
得到.
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，得到；
即 .
（3）由題意
求導(dǎo)得，
由,確定的單調(diào)區(qū)間：上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
根據(jù)，
得到函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).           13分，即得所求.
試題解析：(1) ，                       1分
由題意，兩函數(shù)在處有相同的切線.
，
.                         3分
(2) ，由得，由得，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.               4分

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
∴.                                      5分
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
；
                  6分
（3）由題意
求導(dǎo)得，         8分
由得或，由得 
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減    10分
           11分
                       12分
故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).                      13分