Question

【題目】已知函數(shù) 在 處的切線斜率為2.
（Ⅰ）求 的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若 在 上無(wú)解，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ .
∴ ， .
令 ，解得 或 .
當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：

∴函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和 .
∴函數(shù)的極小值為 ，極大值為 ；
（Ⅱ）令 .
∵ 在 上無(wú)解，
∴ 在 上恒成立.
∵ ，記 ，
∵ 在 上恒成立，
∴ 在 上單調(diào)遞減.
∴ .
若 ，則 ， ，
∴ .
∴ 單調(diào)遞減.
∴ 恒成立.
若 ，則 ，存在 ，使得 ，
∴當(dāng) 時(shí)， ，即 .
∴ 在 上單調(diào)遞增.
∵ ，
∴ 在 上成立，與已知矛盾，故舍去.
綜上可知，
【解析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)f（x）圖象在（1，f（1））處切線的斜率為2，得f′（1）=1，由此式可求a的值；再利用導(dǎo)函數(shù)小于0和導(dǎo)函數(shù)大于0求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義進(jìn)行判定極值即可．
（2）設(shè)出新的函數(shù)，直接利用導(dǎo)函數(shù)小于0和導(dǎo)函數(shù)大于0求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)恒成立的條件進(jìn)行判定即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．