Question

如圖，、是兩個(gè)小區(qū)所在地，、到一條公路的垂直距離分別為，，兩端之間的距離為.
（1）某移動(dòng)公司將在之間找一點(diǎn)，在處建造一個(gè)信號(hào)塔，使得對(duì)、的張角與對(duì)、的張角相等，試確定點(diǎn)的位置.
（2）環(huán)保部門將在之間找一點(diǎn)，在處建造一個(gè)垃圾處理廠，使得對(duì)、所張角最大，試確定點(diǎn)的位置.

Answer 1

(1)；（2）．

解析試題分析：（1）設(shè)?，我們只要利用已知列出關(guān)于的方程即可，而這個(gè)方程就是在兩個(gè)三角形中利用正切的定義，，，因此有，解之得；實(shí)際上本題可用相似形知識(shí)求解，，則，由引開(kāi)出方程解出；（2）要使得最大，可通過(guò)求，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/19/5/1mcyt2.png" style="vertical-align:middle;" />
，只要設(shè)，則都可用表示出來(lái)，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同（1）可得，這里我們用換元法求最值，令，則有，注意到，可取負(fù)數(shù)，即為鈍角，因此在取負(fù)值中的最小值時(shí)，取最大值.
（1）設(shè)，，.
依題意有，.        3分
由，得，解得，故點(diǎn)應(yīng)選在距點(diǎn)2處.    6分
（2）設(shè)，，.
依題意有，，
    10分
令，由，得，，
12分
，，
當(dāng)，所張的角為鈍角，最大角當(dāng)，即時(shí)取得，故點(diǎn)應(yīng)選在距點(diǎn)處.      14分
考點(diǎn)：(1)角相等的應(yīng)用與列方程解應(yīng)用題；（2）角與函數(shù)的最大值.