Question

定義在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），當x∈[3，5]時，f（x）=2-|x-4|，α，β是鈍角三角形的兩銳角，則下列正確的個數(shù)是（ ）
①f（sinβ）＜f（cosα）；
②f（sin（-α）＜f（cosβ）；
③f（cosα）＞f（sin（-β））；
④f（sinα）＞f（cosβ）．
A．4個
B．3個
C．2個
D．1個

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)以及有關(guān)三角的綜合類問題．在解答時，首先要結(jié)合分類討論研究好當x∈[3，5]時，f（x）的解析式，畫出圖象后再結(jié)合周期性將整個實屬集上的圖象畫出，結(jié)合圖象即可讀出奇偶性又可知道函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，進而問題即可獲得解答．
解答：解：由題意函數(shù)f（x）的解析式為：
，
又因為在R上的f（x）滿足f（x）=f（x+2），
所以函數(shù)是以2為周期的函數(shù)．
故函數(shù)在實數(shù)集上的圖象如圖，
由圖象可知：函數(shù)為偶函數(shù)且在（0，1）上為減函數(shù)．
所以：∵α+β＜，
∴或
∴，同理sinβ＜cosα
所以：f（sinα）＞f（cosβ）、f（sinβ）＞f（cosα）
又知函數(shù)為偶函數(shù)，∴f（sin（-α））f（-sinα）=f（sinα），f（sin（-β））=f（sinβ）
所以①②③不正確．
故選D．
點評：本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性、分段函數(shù)以及有關(guān)三角的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及函數(shù)單調(diào)性知識和周期性知識的靈活應(yīng)用．值得同學們體會反思．