Question

（2012•江蘇一模）定義在R上的f（x），滿足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，則f（2012）的值為

1006

．

Answer 1

分析：由已知利用賦值，令m=0，n=1結合f（1）≠0可求f(1)=

1

2

，令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，可得f（m+1）-f（m）=

1

2

，則f（m）是以f（1）=

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項可求

解答：解：∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，對于任意的m，n∈R都成立且f（1）≠0，
令m=n=0可得，f（0）=f（0）+2f²（0），則f（0）=0
令m=0，n=1可得f（1）=f（0）+2f²（1）
∵f（1）≠0
∴f(1)=

1

2

∵f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，對于任意的m，n∈R都成立
令n=1可得，f（m+1）=f（m）+2[f（1）]²，即f（m+1）-f（m）=2[f（1）]²=

1

2

由f（m+1）-f（m）=

1

2

可得f（m）是以f（1）=

1

2

為首項，以

1

2

為公差的等差數(shù)列
由等差數(shù)列的通項公式可得，f（m）=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

∴f（2012）=1006
故答案為：1006

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，解題的關鍵是利用賦值得到f（m+1）-f（m）=

1

2

，然后利用等差數(shù)列進行求解