Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

．
（1）求點(diǎn)M在第二象限或第三象限的充要條件；
（2）求證：當(dāng)t₁=1時(shí)，不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線．

Answer 1

分析：（1）由條件可得

OM

=（3t₂，t₁+3t₂），從而可得點(diǎn)M在第二象限或第三象限的充要條件為t₂＜0且t₁+3t₂≠0．
（2）由

OM

=t1

OA

+t2

AB

以及t₁=1可得

OM

=（1-t₂）•

OA

+t₂•

OB

，從而得到A、B、M三點(diǎn)共線．

解答：解：（1）由A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

，可得

OM

=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t₂，t₁+3t₂），
故點(diǎn)M在第二象限或第三象限的充要條件為t₂＜0且t₁+3t₂≠0．
（2）∵

OM

=t1

OA

+t2

AB

，

OM

=t1

OA

+t2(

OB

-

OA

)=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，t₁=1，
∴

OM

=（1-t₂•

OA

 ）+t₂•

OB

，
∴A，B，M三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充要條件的定義，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，三點(diǎn)共線的條件，屬于基礎(chǔ)題．