Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，2），B（4，6），

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

．
（1）求證：當(dāng)t₁=1時(shí)，不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；
（2）若t₁=a²，求當(dāng)

OM

⊥

AB

且△ABM的面積為12時(shí)a的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t₁=1時(shí)，求得

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），

AM

=

OM

-

OA

=t₂

AB

，可得不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)共線．
（2）當(dāng)t₁=a²時(shí)，求得

OM

=（4t₂，4t₂+2a²），

AB

=（4，4），再根據(jù)

OM

⊥

AB

求得t₂=-

1

4

a²，|

AB

|=4

2

，點(diǎn)M到直線AB：x-y+2=0的距離d=

2

|a²-1|．
再由S_△ABM=12求得a的值．

解答：解：（1）證明：當(dāng)t₁=1時(shí)，

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），由題意知

OM

=（4t₂，4t₂+2）．
∵

AM

=

OM

-

OA

=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂

AB

，
∴不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)共線．
（2）當(dāng)t₁=a²時(shí)，

OM

=（4t₂，4t₂+2a²）．
又∵

AB

=（4，4），

OM

⊥

AB

，∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-

1

4

a²．
∴

OM

=（-a²，a²）．又∵|

AB

|=4

2

，
點(diǎn)M到直線AB：x-y+2=0的距離d=

|-a2-a2+2|

2

=

2

|a²-1|．
∵S_△ABM=12，
∴

1

2

|

AB

|•d=

1

2

×4

2

×

2

|a²-1|=12，解得a=±2，故所求a的值為±2．

點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，三點(diǎn)共線的條件，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．