Question

【題目】已知，函數(shù)

（1）解關(guān)于的不等式；

（2）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．然后分a＜﹣1，a＝﹣1，a＞﹣1三類求解不等式的解集；

（2）|f（x）|≥g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立|x2+（2a+1）x|≥ax對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax對(duì)任意x∈R都成立；當(dāng)a＞0時(shí)，分x∈（﹣∞，0]與x∈（0，+∞）分類分析；當(dāng)a＜0時(shí)，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax顯然不成立；當(dāng)a時(shí)，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，則t（x）＝x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．然后利用導(dǎo)數(shù)求解滿足條件的a的取值范圍．

（1）由f（x）≤g（x），得x2+（2a+1）x≤ax，即x2+（a+1）x≤0．

當(dāng)a＜﹣1時(shí)，解得0≤x≤﹣a﹣1．當(dāng)a＝﹣1時(shí)，解得x＝0．當(dāng)a＞﹣1時(shí)，解得﹣a﹣1≤x≤0．

∴當(dāng)a＜﹣1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）的解集為[0，﹣a﹣1]；

當(dāng)a＝﹣1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）的解集為{0}；

當(dāng)a＞﹣1時(shí)，不等式f（x）≤g（x）的解集為[﹣a﹣1，0]．

（2）|f（x）|≥g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立|x2+（2a+1）x|≥ax對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，

當(dāng)a＝0時(shí)，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax對(duì)任意x∈R都成立；

當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，令h（x）＝x2+（2a+1）x﹣ax＝x2+ax+x，h′（x）＝2x+a+1＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則h（x）＞h（0）＝0，∴不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立，

∴當(dāng)a＞0時(shí)，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax成立；

當(dāng)a＜0時(shí)，不等式|x2+（2a+1）x|≥ax顯然不成立；

當(dāng)a時(shí)，要使不等式|x2+（2a+1）x|≥ax恒成立，

則只需不等式|x2+（2a+1）x|≥ax在x∈（﹣∞，0）上恒成立．

即t（x）＝x2+2（a+1）x﹣ax＞0在x∈（﹣∞，0）上恒成立．

∵t′（x）＝2x+a+1，由2x+a+1＝0，解得x，若﹣1＜a，

則當(dāng)x∈（﹣∞，）時(shí)，t′（x）＜0，當(dāng)x∈（，0）時(shí)，t′（x）＞0，

∴x∈（﹣∞，0）時(shí)，，不合題意；

若a≤﹣1，則x∈（﹣∞，0）時(shí)，t′（x）≤0，t（x）為減函數(shù)，則t（x）＞t（0）＝0．

綜上，不等式|f（x）|≥g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立時(shí)a的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．