Question

(拓展深化)如圖①所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是直線AD和△ABC外接圓的交點(diǎn)．

(1)求證：AB2＝AD·AE；

(2)如圖②所示，當(dāng)D為BC延長線上的一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

 

Answer 1

見解析

【解析】

證明　(1)如圖③，連接BE.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∵∠ACB＝∠AEB，

∴∠ABC＝∠AEB.

∴△ABD∽△AEB.

∴AB∶AE＝AD∶AB，

即AB2＝AD·AE.

(2)如圖④，連接BE、EC，

∵四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O，

∴∠CED＝∠ABC，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠CED＝∠ACB，

∵∠AEC＝180°－∠CED，

∠ACD＝180°－∠ACB，

∴∠AEC＝∠ACD，∴△ACE∽△ADC，

∴＝，∴AB2＝AD·AE.