Question

設(shè)z是虛數(shù)是實數(shù),且.

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;

(2)設(shè)求證:u為純虛數(shù);

(3)求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵z是虛數(shù),∴可設(shè)z=x+yiR,且 、

∴ii

i.

∵是實數(shù)且∴.

∴即|z|=1.此時.

∵∴-1<2x<2,從而有.

即z的實部的取值范圍是.

(2)證法一:i,

∵∴.∴u為純虛數(shù).

證法二:∵z為虛數(shù),且|z|=1  ,∴z=1 , 即.

 .

∴u為純虛數(shù).

(3)i?

2x+

∵∴1+x>0.

于是  

當(dāng)且僅當(dāng)2即x=0時等號成立.

∴的最小值為1,此時i.

【解析】本試題主要是考查了復(fù)數(shù)的概念和運算的綜合運用

（1）因為z是虛數(shù),∴可設(shè)z=x+yiR,且 、

∴ii

從而證明u是純虛數(shù)。

（2）i，然后化簡和計算得到

 然后借助于函數(shù)思想得到結(jié)論。