Question

設z是虛數(shù),ω=z+是實數(shù),且-1＜ω＜2,

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍;

(2)設u=,求證:u為純虛數(shù);

(3)求ω-u²的最小值.

Answer 1

(1)解:設z=a+bi,a、b∈R,b≠0,?

則ω=a+bi+

,?

因為ω是實數(shù),b≠0,所以a²+b²=1,即|z|=1.?

于是ω=2a,-1＜ω=2a＜2,-＜a＜1,?

所以z的實部的取值范圍是(-,1).?

(2)證明:u=

因為a∈(-,1),b≠0,所以u為純虛數(shù).?

(3)解:ω-u²=2a+

,?

因為a∈(-,1),所以a+1＞0.故ω-u²≥2?

當a+1=,即a=0時,ω-u²取得最小值1.