Question

已知四面體A-BCD，AB=4，CD=2，AB與CD之間的距離為3，則四面體ABCD體積的最大值為

4

．

Answer 1

分析：作BE平行CD，且BE=CD，連接CE，AE，四面體ABCD的體積=四面體ADBE的體積，由AB與CD之間的距離為3，知四面體ADBE以△ABE為底時的高h(yuǎn)=3，要使四面體ADBE體積最大，則△ABE面積要最大，當(dāng)∠ABE=90°時，△ABE的面積取最大值S=4．由此能求出四面體ABCD體積的最大值．

解答：解：如圖，作BE平行CD，且BE=CD，連接CE，AE，


∵BE∥CD，且BE=CD，
∴BECD是平行四邊形，
∴A-BDE與A-BCD等底同高，
∴四面體ABCD的體積=四面體ADBE的體積，
∵BE∥CD，
∴AB與CD的公垂線一定垂直面ABE，
∵AB與CD之間的距離為3，
∴四面體ADBE以△ABE為底時的高h(yuǎn)=3，
要使四面體ADBE體積最大，則△ABE面積要最大，
∵S△ABE=

1

2

 AB•BE•sin∠ABE
=

1

2

×4×2×sin∠ABE
=4sin∠ABE．
∴當(dāng)∠ABE=90°時，△ABE的面積取最大值S=4．
∴四面體ABCD體積的最大值=四面體ADBE體積最大值=

1

3

•Sh=

1

3

×4×3=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地通知等價轉(zhuǎn)化．