Question

如圖，已知四面體A-BCD的四個頂點都在球M的球面上，BD=2，其余棱長均為

2

，則A、C的球面距離是

π

2

．

Answer 1

分析：取BD的中點O，連結(jié)OA、OC，由勾股定理的逆定理，算出△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，得OA=

1

2

BD=1，同理得出OC=

1

2

BD=1，從而OA=OB=OC=OD=1，得到球M的球心與BD中點O重合．在△AOC算出∠AOC=90°，利用球面距離計算公式即可算出此A、C的球面距離．

解答：解：取BD的中點O，連結(jié)OA、OC，
∵△ABD中，AB=AD=

2

，BD=2
∴△ABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，可得OA=

1

2

BD=1，
同理可得：△BCD中，OC=

1

2

BD=1
因此OA=OB=OC=OD=1，可得以O為球心、1為半徑的球面上，
即球M的球心與BD中點O重合，
∵△AOC中，AO=OC=1，AC=

2

∴△AOC是以O為斜邊的等腰直角三角形，得∠AOC=90°
因此A、C的球面距離等于

90π×1

180

=

π

2

故答案為：

π

2

點評：本題在三棱錐中求外接球面上兩點的球面距離，著重考查了勾股定理的逆定理、多面體的外接球和球面距離公式及其計算等知識，屬于中檔題．