Question

【題目】有如下命題：①函數(shù)y=sinx與y=x的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)；②函數(shù)y=sinx與y=的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)；③函數(shù)y=sinx與y=x2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)y=sinx與y=x3的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx-x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，進(jìn)行判斷即可；

②利用與x的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷；

③和④直接作出兩個(gè)函數(shù)的圖象即可進(jìn)行判斷.

①設(shè)f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0，即函數(shù)f（x）為減函數(shù)，

∵f（0）=0，

∴函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=sinx與y=x的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，故①錯(cuò)誤，

②由①知當(dāng)x＞0時(shí)，sinx＜x，

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，＞x＞sinx，

當(dāng)x＞1時(shí)，＞sinx，

當(dāng)x=0時(shí)，sinx=，綜上當(dāng)x＞0時(shí)，＞sinx恒成立，

函數(shù)y=sinx與y=的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，故②正確，

③作出函數(shù)y=sinx與y=x2，的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=sinx與y=x2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，故③正確，

④作出函數(shù)y=sinx與y=x3，的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=sinx與y=x3的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，故④正確，

故正確的是②③④，

故選C．