Question

如圖，線段AB的兩個端點A、B分別分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=5，點M是AB上一點，且|AM|=2，點M隨線段AB的運動而變化．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）設F₁為點M的軌跡的左焦點，F₂為右焦點，過F₁的直線交M的軌跡于P，Q兩點，求S△PQF2的最大值，并求此時直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）利用代入法，即可求點M的軌跡方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，可得S△PQF2，換元，利用基本不等式，即可求面積的最大值，從而求此時直線PQ的方程．

解答：解：（1）由題可知AM=

2

5

AB，且可設A（x₀，0），M（x，y），B（0，y₀），
則可得x0=

5

3

x，y0=

5

2

y，
又|AB|=5，即x02+y02=25，∴

x2

9

+

y2

4

=1，這就是點M的軌跡方程．
（2）由（1）知F₁為（-

5

，0），F₂為（

5

，0），
由題設PQ為x=my-

5

，
直線方程代入橢圓方程，可得（4m²+9）y²-8

5

my-16=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則△＞0恒成立，y1+y2=

8 5 m

4m2+9

且y1y2=

-16

4m2+9

，
∴S△PQF2=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)=

5

|y1-y2|=24

5

•

m2+1

4m2+9

令t=

m2+1

（t≥1），則S△PQF1=24

5

•

1

4t+ 5 t

≤6，
當且僅當t=

5

2

，即m=±

1

2

時取“=”
∴S△PQF2的最大值為6，
此時PQ的方程為2x+y-2

5

=0或2x-y-2

5

=0．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．