Question

函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：
①對任意的x∈R，有f（x）＞0；
②對任意的x，y∈R，都有f（xy）=[f（x）]^y；
③f(

1

3

)＞1．
（Ⅰ）求f（0）的值；  
（Ⅱ）求證：f（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)； 
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式：[f（x-2a）]^（x+1）＞1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以令y=0，代入f（xy）=[f（x）]^y，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，故p₁＜p₂，再判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，從而可證其單調(diào)性；，
（Ⅲ）根據(jù)f（x）是增函數(shù)，利用f（0）=1，代入不等式，再利用單調(diào)性進(jìn)行求解；

解答：解：（1）：（1）∵對任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則令x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，故p₁＜p₂，
∵函數(shù)f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f(

1

3

)＞1
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

1

3

P₁）-f（

1

3

P₂）=[f（

1

3

）]^P₁-[f（

1

3

）]^P₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)．
（3）∵解關(guān)于x的不等式：[f（x-2a）]^（x+1）＞1=f（0），f（x）是（-∞，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f[（x-2a）^x+1]＞0，
∴f[（x-2a）（x+1）]=f（x-2a）^x+1＞0，∵對任意的x∈R，有f（x）＞0；
∴（x-2a）（x+1）＞0，比較2a與-1的大小
當(dāng)a=-

1

2

時，f（x）的解集為（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
當(dāng)a＞-

1

2

時，即2a＞-1，f（x）的解集為（-∞，-1）∪（2a，+∞）；
當(dāng)a＜-

1

2

時，即2a＜-1，f（x）的解集為（-∞，2a）∪（-1，+∞）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，難點在于用單調(diào)函數(shù)的定義證明其單調(diào)遞增時“任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁=

1

3

P₁，x₂=

1

3

P₂，”這一步比較靈活需要學(xué)生的理解與應(yīng)用，屬于中檔題．