Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程F（x）-2m²+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對數(shù)函數(shù)的定義域即可的得出，利用對數(shù)的運算法則即可得出函數(shù)的零點；
（2）通過對a分類討論，利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出復(fù)合函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）利用（2）的函數(shù)F（x）的單調(diào)性可得其值域，進而轉(zhuǎn)化為即一元二次不等式的解集．

解答：解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=2loga(x+1)+loga

1

1-x

（a＞0且a≠1）
要使函數(shù)有意義，則

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)F（x）的定義域為（-1，1）．
令F（x）=0，則2loga(x+1)+loga

1

1-x

=0…（*）
方程變?yōu)?span id="4eeqjox" class="MathJye">loga(x+1)2=loga(1-x)，（x+1）²=1-x，即x²+3x=0
解得x₁=0，x₂=-3．
經(jīng)檢驗x=-3是（*）的增根，∴方程（*）的解為x=0，
∴函數(shù)F（x）的零點為0．
（2）由于函數(shù)y=x+1，y=

1

1-x

在定義域D上是增函數(shù)．可得：
①當a＞1時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

在定義域D上是增函數(shù)．
∴函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數(shù)．
②當0＜a＜1時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知：
函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，在定義域D上是減函數(shù)．
∴函數(shù)F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數(shù)．
（3）問題等價于關(guān)于x的方程2m²-3m-5=F（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，
①當a＞1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是增函數(shù)，
∴F（x）∈[0，+∞），
∴只需2m²-3m-5≥0，
解得：m≤-1，或m≥

5

2

．
②當0＜a＜1時，由（2）知，函數(shù)F（x）在[0，1）上是減函數(shù)，
∴F（x）∈（-∞，0]，
∴只需2m²-3m-5≤0，
解得：-1≤m≤

5

2

．
綜上所述，當0＜a＜1時：-1≤m≤

5

2

；
當a＞1時，m≤-1，或m≥

5

2

．

點評：本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域、一元二次不等式的解法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．