Question

已知動圓C經(jīng)過點（0，m）（m＞0），且與直線y=-m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1．記該圓圓心的軌跡為E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個公共點，使它們在該點處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先設出曲線E的方程，再確定圓的方程，利用圓C被x軸截得弦長的最小值為1，即可求曲線E的方程；
（Ⅱ）假設存在題設的公共點B，代入圓的方程并整理，求導確定切線斜率，利用圓切線的性質(zhì)可得方程，聯(lián)立方程，即可求出切線方程．
解答：解：（Ⅰ）依題意，曲線E是以（0，m）為焦點，以y=-m為準線的拋物線，所以曲線E的方程為x²=4my．…（2分）
設動圓圓心為A（a，），則圓C方程為（x-a）²+（y-）²=（+m）²，
令y=0，得（x-a）²=+m²．
當a=0時，圓C被x軸截得弦長取得最小值2m，于是m=，故曲線E的方程為x²=2y．…（5分）
（Ⅱ）假設存在題設的公共點B（b，b²）．
圓C方程為（x-a）²+（y-a²）²=（a²+）²，
將點B坐標代入上式，并整理，得（b-a）²[1+（a+b）²]=（a²+1）²．①…（7分）
對y=x²求導，得y′=x，則曲線E在點B處的切線斜率為b．
又直線AB的斜率k==（a+b）．
由圓切線的性質(zhì)，有（a+b）b=-1．②…（8分）
由①和②得b²（b²-8）=0．
顯然b≠0，則b=±2．…（9分）
所以存在題設的公共點B，其坐標為（±2，4），公切線方程為y=2（x-2）+4或y=-2（x+2）+4，即y=±2x-4．…（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．