Question

（2013•唐山二模）已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且在x軸上截得弦長(zhǎng)為2，記該圓圓心的軌跡為E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M(0，

1

2

)的直線m交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為2

2

時(shí)，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo)，由動(dòng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）求出圓的半徑，利用圓在x軸上截得弦長(zhǎng)為2列式整理即可得到曲線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線m的方程，設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求導(dǎo)得到過(guò)A，B的拋物線的切線方程，利用拋物線定義求出AB長(zhǎng)度，用點(diǎn)到直線距離公式求出C到AB的距離，寫出面積后由面積等于2

2

求出直線的斜率，從而求得直線方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），則其半徑r=

x2+(y-1)2

．
依題意，r²-y²=1，即x²+（y-1）²-y²=1，
整理得曲線E的方程為x²=2y．
（Ⅱ）如圖，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=

1

2

x12，y₂=

1

2

x22．
設(shè)直線m方程為y=kx+

1

2

，代入曲線E方程，得
x²-2kx-1=0，則x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1．
對(duì)y=

1

2

x²求導(dǎo)，得y′=x．
于是過(guò)點(diǎn)A的切線為y=x₁（x-x₁）+

1

2

x12，即y=x₁x-

1

2

x12 ①
同理得過(guò)點(diǎn)B的切線為y=x₂x-

1

2

x22 ②
設(shè)C（x₀，y₀），由①、②及根與系數(shù)關(guān)系得
x₀=

x1+x2

2

=k，y₀=x₁x₀-

1

2

x12=-

1

2

．
M為拋物線的焦點(diǎn)，y=-

1

2

為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義，得
|AB|=y₁+

1

2

+y₂+

1

2

=k（x₁+x₂）+2=2（k²+1）．
點(diǎn)C到直線m的距離d=

|kx0-y0+ 1 2 |

1+k2

=

|k2+ 1 2 + 1 2 |

1+k2

=

k2+1

．
所以△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=（k²+1）

k2+1

．
由已知（k²+1）

k2+1

=2

2

，得k=±1．
故直線m的方程為y=±x+

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義求解AB的長(zhǎng)度，是難題．