Question

【題目】已知函數f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （Ⅰ）設 ，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）設 ，函數g（x）=f（x）﹣2，已知b＞3時存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＜0．若g（x）=0有且只有一個零點，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 時，f（x）=2x+2﹣x=2x+ ，

令f（x）=2，即2x+ =2，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，

即（2x﹣1）2=0，∴2x=1，

解得：x=0．

（Ⅱ）當b=3時，g（x）=3x+ ﹣2≥2﹣2=0，

當且僅當 =3x即x=0時取等號，

∴x=0是g（x）的唯一的零點，符合題意．

當b＞3時， ，

顯然x=0是g（x）的一個零點，

∵當b＞3時存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＜0，且g（﹣2）＞0，

∴g（x）在（﹣2，x0）必存在另一零點，

此時，g（x）存在2個零點，不符合題意．

綜上可得b=3．

【解析】（I）直接解方程即可得出；（II）對b=3和b＞3分情況討論，利用零點存在性定理判斷零點是否唯一．