Question

【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）若對于任意實數(shù)，恒成立，試確定的取值范圍；

（2）當時，函數(shù)在上是否存在極值?若存在，請求出這個極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）利用參變分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)最值，即得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)極值是否存在.

（1）∵對于任意實數(shù)恒成立，

∴若，則為任意實數(shù)時，恒成立；

若 恒成立，即，在上恒成立，

設(shè)，則，

當時，，則在上單調(diào)遞增；

當時，，則在上單調(diào)遞減；

所以當時，取得最大值，，

所以的取值范圍為.

綜上，對于任意實數(shù)恒成立的實數(shù)的取值范圍為.

（2）依題意，，

所以，

設(shè)，則，當，

故在上單調(diào)增函數(shù)，因此在上的最小值為，

即，

又所以在上，，

所以在上是增函數(shù)，

即在上不存在極值.