Question

在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量

m

=（cos（A-B），sin（A-B）），向量

n

=（cosB，-sinB），且

m

•

n

=-

4

5

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若a=9，b=5，求向量

BC

在

BA

方向上的投影．

Answer 1

分析：（I）由向量數(shù)量積的坐標運算公式和兩角差的余弦公式，化簡得

m

•

n

=cosA=-

4

5

，再根據(jù)0＜A＜π，利用同角三角函數(shù)的平方關系，即可算出sinA的值；
（II）根據(jù)正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

的式子，算出sinB=

1

3

，進而得到cosB=

2 2

3

．再根據(jù)向量投影的定義加以計算，可得

BC

在

BA

方向上的投影值．

解答：解：（I）∵

m

=（cos（A-B），sin（A-B）），

n

=（cosB，-sinB），
∴由

m

•

n

=-

4

5

，得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-

4

5

，
可得cos[(A-B)+B]=-

4

5

，
即cosA=-

4

5

．
∵0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos 2A

=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

．
（II）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
可得sinB=

bsinA

a

=

5× 3 5

9

=

1

3

．
∵a＞b可得A＞B，
∴cosB=

1-sin2B

=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

．
∴向量

BC

在

BA

方向上的投影為

|BC|

•cos∠ABC=acosB=9×

2 2

3

=6

2

．

點評：本題著重考查了向量數(shù)量積公式、兩角差的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關系、正弦定理和向量投影的定義等知識，屬于中檔題．