Question

設(shè)二次方程，有兩根和，且滿足，

（1）試用表示；

（2）證明是等比數(shù)列；

（3）設(shè)，，為的前n項和，證明，（）。

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）見解析；（3）

【解析】本題是對數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識的綜合考查．本題雖然問比較多，但每一問都比較基礎(chǔ)，屬于中檔題．

（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得

（2）對（1）的結(jié)論兩邊同時減去 ，整理即可證：數(shù)列{a_n- }是等比數(shù)列；

（3）先利用（2）求出數(shù)列{a_n- }的通項公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式和，然后利用錯位相減法得到結(jié)論。

（1）即，可推出，

（2），且

∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列；

（3），  

 

兩式相減得   

整理得