Question

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有兩根α和β，且滿足6α-2α•β+6β=3，
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an-

2

3

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)a1=

7

6

時，求數(shù)列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）直接利用韋達(dá)定理求出兩根之和以及兩根之積，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得a_n+1與a_n的遞推關(guān)系整理即可證：數(shù)列{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列；
（2）先利用（1）求出數(shù)列{a_n-

2

3

} 的通項公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式．，然后利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及錯位相減求和方法即可求解

解答：證明：（1）由韋達(dá)定理得α+β=

an+1

an

，α•β=

1

an

由6α-2αβ+6β=3得

6an+1

an

-

2

an

=3，
故a_n+1-

1

3

=

1

2

a_n，
∴a_n+1-

2

3

=

1

2

（a_n-

2

3

）
∴數(shù)列{an-

2

3

}是以

1

2

為公比的等比數(shù)列
解：（2）∵a1=

7

6

∴a1-

2

3

=

1

2

∴數(shù)列{an-

2

3

}是以

1

2

為公比以

1

2

為首項的等比數(shù)列
∴an-

2

3

=

1

2n

∴an=

2

3

+

1

2n

令Sn=

1

2

+

1

22

+…+

n

2n

∴

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

兩式相減可得，

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=

2n+1-2-n

2n+1

∴Sn=

2n+1-n-2

2n

Tn=(

2

3

+

1

2

)+2(

2

3

+

1

22

)+…+n(

2

3

+

1

2n

）
=

2

3

(′1+2+…+n)+(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)
=

2

3

×

n(1+n)

2

+

2n+1-n-2

2n

=

n(n+1)

3

+

2n+1-n-2

2n

點評：本題是對數(shù)列的遞推關(guān)系以及韋達(dá)定理和等比數(shù)列知識的綜合考查．本題雖然問比較多，但每一問都比較基礎(chǔ)，屬于中檔題．