Question

設(shè)二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個(gè)實(shí)根α和β，且滿(mǎn)足6α-2αβ+6β=3．
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求證：{a_n-

2

3

}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個(gè)實(shí)根α和β，知α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，由6α-2αβ+6β=3，得

6an+1

an

-

2

an

= 3，由此能用用a_n表示a_n+1．
（2）由an+1=

1

2

an+

1

3

，知an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，由此能夠證明{an-

2

3

}是等比數(shù)列．

解答：（1）解：∵二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有兩個(gè)實(shí)根α和β，
∴α+β=

an+1

an

，αβ=

1

an

，
∵6α-2αβ+6β=3，∴

6an+1

an

-

2

an

= 3，
即6a_n+1-2=3a_n，得an+1=

1

2

an+

1

3

．
（2）證明：∵an+1=

1

2

an+

1

3

，
∴an+1-

2

3

=

1

2

an+

1

3

-

2

3

=

1

2

an-

1

3

，
∴an+1-

2

3

=

1

2

(an-

2

3

)，
所以{an-

2

3

}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用和等比數(shù)列的證明，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．