Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)任意的都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，求出導(dǎo)函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率，又，進(jìn)而得出切線方程；
（2）易得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051218482535.png" style="vertical-align:middle;" />，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，令并在定義域范圍內(nèi)解之，即，再對(duì)其分和進(jìn)行分類(lèi)討論，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間在定義域內(nèi)的補(bǔ)集即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
由題意得：對(duì)任意，使得恒成立，只需在區(qū)間內(nèi)，，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而求出的取值范圍.
(1)時(shí), 
                          
曲線在點(diǎn)處的切線方程       
(2) 
①當(dāng)時(shí), 恒成立,函數(shù)的遞增區(qū)間為 
②當(dāng)時(shí),令,解得或（舍去）

x	( 0,)
f’(x)	-		+
f(x)	減		增

 
所以函數(shù)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為     
(3)由題意知對(duì)任意的,,則只需對(duì)任意的, 
①當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),所以只需 ，而 ，所以滿足題意;
②當(dāng)時(shí),,在上是增函數(shù), 所以只需 
而， 所以滿足題意; 
③當(dāng)時(shí),,在上是減函數(shù),上是增函數(shù),所以只需即可 ，而 ，從而不滿足題意;
綜合①②③實(shí)數(shù)的取值范圍為.