Question

【題目】某公司欲制作容積為16米3 ， 高為1米的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米1000元，側面造價是每平方米500元，記該容器底面一邊的長為x米，容器的總造價為y元．
（1）試用x表示y；
（2）求y的最小值及此時該容器的底面邊長．

Answer 1

【答案】
解：（1）由容器底面一邊的長為x米，設寬為zm，
則xz1=16，即xz=16，即z=，
則該容器的造價y=1000xz+500（x+x+z+z）
=16000+1000（x+z）=16000+1000（x+），x＞0；
（2）由16000+1000（x+）
≥16000+1000×2
=16000+8000=24000．
（當且僅當x=z=4時，等號成立）
故該容器的最低總價是24000元，
此時該容器的底面邊長為4m．
【解析】（1）設長方體容器的長為xm，寬為zm；從而可得xz=16，從而寫出該容器的造價為y=1000xz+500（x+x+z+z）；
（2）利用基本不等式，可得x+≥2 ， 即可得到所求的最值和對應的x的值．
【考點精析】關于本題考查的基本不等式在最值問題中的應用，需要了解用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能得出正確答案．