Question

【題目】設(shè)偶函數(shù)f（x）的定義域為[﹣4，0）∪（0，4]，若當x∈（0，4]時，f（x）=log2x，
（1）求出函數(shù)在定義域[﹣4，0）∪（0，4]的解析式；
（2）求不等式xf（x）＜0得解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知：f（x）是偶函數(shù)，即f（﹣x）=f（x），

當x∈（0，4]時，f（x）=log2x，

那么：當x∈[﹣4，0）時，則﹣x∈（0，4]，

可得：f（﹣x）=log2﹣x，

∵f（﹣x）=f（x），

∴f（x）=log2﹣x，

故得f（x）的函數(shù)解析式為：

（2）解：當0＜x≤4時，f（x）=log2x，

∵0＜x＜1時，f（x）＜0，

不等式xf（x）＜0恒成立．

當﹣4≤x＜0時，f（x）=log2﹣x，

∵﹣4≤x＜﹣1時，f（x）＞0，

不等式xf（x）＜0恒成立．

綜上所述：不等式的解集為（﹣4，﹣1）∪（0，1）

【解析】（1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，f（﹣x）=f（x），當x∈（0，4]時，f（x）=log2x，可求x∈[﹣4，0）的解析式．（2）根據(jù)定義域的不同，解析式不同，分類解不等式即可．