Question

平面幾何中有命題“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于定值，大小為邊長(zhǎng)的

3

2

倍”，請(qǐng)你寫出此命題在立體幾何中類似的真命題

 

．

Answer 1

分析：由題意平面幾何中有命題“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于定值，大小為邊長(zhǎng)的

3

2

倍，類似可以寫此命題在立體幾何中類似的真命題 正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值，大小為棱長(zhǎng)的

6

3

倍．

解答：解：設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為a，
∵正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于定值，大小為邊長(zhǎng)的

3

2

倍”，
∴正三角形的中心0到邊長(zhǎng)的距離為：

1

3

×

3

2

a=

3

6

a，
∵正四面體內(nèi)的底面也是正三角形，
∴正四面體側(cè)面的高為：h=

a2- a2 4

=

3

2

a，
∴正四面體頂點(diǎn)到底邊的距離l=

3 4 a2 - 1 12 a2

=

6

3

a，
∵四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和就是正四面體頂點(diǎn)到底邊的距離l，
∴正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值，大小為棱長(zhǎng)的

6

3

倍．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查命題的歸納和類比，利用平面幾何的性質(zhì)，類比到立體幾何上，題比較新穎，是一道好題．